அத்தியாயம் 2: பூலியன் இயற்கணிதம் மற்றும் அதன் தொடர்புடைய கணினி கூறுகள்

அத்தியாயம் 2: பூலியன் இயற்கணிதம் மற்றும் அதன் தொடர்புடைய கணினி கூறுகள்

2.1 அடிப்படை பூலியன் ஆபரேட்டர்கள்

நான் (எழுத்தாளர்) உயரமானவர், நீங்கள் (வாசகர்) உயரமானவர்கள் என்று வைத்துக் கொள்ளுங்கள். நாங்கள் இருவரும் உயரமாக இருக்கிறீர்களா என்று யாராவது உங்களிடம் கேட்டால், நீங்கள் 'ஆம்' (உண்மை) என்று கூறுவீர்கள். நாங்கள் இருவரும் குட்டையாக இருக்கிறீர்களா என்று அவர் கேட்டால், 'இல்லை' (பொய்) என்று சொல்வீர்கள். நீங்கள் குட்டையாகவும், நான் உயரமாகவும் இருந்தால், நீங்கள் அல்லது நான் உயரமா என்று அவர் உங்களிடம் கேட்டால், உங்கள் பதில் “ஆம்” (உண்மை) என்று இருக்கும். நீயும் நானும் உயரமா என்று கேட்டால் உன்னிடம் பதில் இருக்காது. கடைசிக் கேள்வியைக் கேட்கக் கூடாது அல்லது கேள்விக்கு பதில் இல்லை என்று நீங்கள் சொல்லிக்கொண்டே போகலாம். சரி, இன்று, சில சூழ்நிலைகளில், கேள்வி கேட்கப்பட வேண்டும் என்பதை நீங்கள் (வாசகர்) அறிய விரும்புகிறேன்.

உயிரியலில், ஒரு நபர் உயரமாகவோ அல்லது குட்டையாகவோ இருக்கிறார். 'சுற்றுச்சூழல்' நிலைமைகள் தான் ஒரு நபரை நடுத்தர உயரத்தை உருவாக்குகிறது. ஒரு விஞ்ஞானி, ஜார்ஜ் பூல், இந்த வகையான கேள்விகளுக்கான பதில்கள் அல்லது விதிகளின் தொகுப்பை வரையறுத்தார். இந்த விதிகளை ஆன்லைன் கேரியர் கோர்ஸின் (அத்தியாயம்) இந்த பிரிவில் கற்றுக்கொள்வோம். இந்த விதிகள் இன்று கணினி, நிரலாக்கம், மின்னணுவியல் மற்றும் தொலைத்தொடர்பு ஆகியவற்றில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. உண்மையில், இந்த விதிகள் இல்லாமல், உங்களிடம் கணினி இருக்காது, அது இன்று பொதுவானது; இன்று பொதுவானது போல, உங்களுக்கு நிரலாக்கமும் இருக்காது.

சரியா தவறா
ஒரு எளிய மனித மொழி அறிக்கை உண்மை அல்லது தவறானது. 'நான் உயரமாக இருக்கிறேன்' என்று நான் சொன்னால், அது உண்மை அல்லது பொய். 'நீ உயரமாக இருக்கிறாய்' என்று நான் சொன்னால், அது உண்மை அல்லது பொய். நான் உயரமாக இருந்தால், நீங்கள் குட்டையாக இருந்தால், நீங்களும் நானும் உயரமாக இருக்கிறீர்களா என்று கேள்வி கேட்கப்பட்டால், பூலியன் தர்க்கத்தில், உண்மை அல்லது தவறான பதில் கொடுக்கப்பட வேண்டும். இந்த இரண்டில் எதைக் கொடுக்க வேண்டும்? இந்தக் கேள்விக்கு பூல் உண்மையில் பதிலளிக்கவில்லை. நாம் பின்பற்ற வேண்டிய விதிகளை அவர் எளிமையாகக் கொண்டு வந்தார். நல்ல செய்தி என்னவென்றால், இந்த விதிகளை அவற்றின் சரியான சூழலில் நீங்கள் பின்பற்றும்போது, ​​உங்களுக்கு எந்த தெளிவின்மையும் இருக்காது. இந்த விதிகளுக்கு நன்றி, இன்று எங்களிடம் கணினிகள் மற்றும் நிரலாக்கங்கள் உள்ளன. விதிகள் இப்போது உங்களுக்கு வழங்கப்பட்டுள்ளன. விதிகளை உண்மையில் விளக்க முடியாது; நீ அவற்றை ஏற்றுக்கொள். விதிகள் மூன்று தலைப்புகளின் கீழ் உள்ளன: AND, OR, மற்றும் NOT.

மற்றும்
நீங்களும் நானும் உயரமாக இருந்தால் கேள்வி கேட்கலாம். எனது உயரமும் உங்கள் உயரமும் பின்னர் மற்றும் விதிகளின் தொகுப்பால் இணைக்கப்படுகின்றன. பின்பற்ற வேண்டிய மற்றும் விதிகள் இவை:

பொய் மற்றும் பொய் = பொய்
பொய் மற்றும் உண்மை = பொய்
உண்மை மற்றும் பொய் = பொய்
உண்மை மற்றும் உண்மை = உண்மை

இப்போது, ​​உயரமானது உண்மையாகவும், குட்டையானது பொய்யாகவும் இருக்கட்டும். இதன் பொருள் நான் குட்டையாகவும் நீ குட்டையாகவும் இருந்தால் நீயும் நானும் குட்டையாக இருக்கிறோம். நான் குட்டையாகவும் நீ உயரமாகவும் இருந்தால் நீயும் நானும் குட்டையானவர்கள்; நீங்கள் ஏற்றுக்கொள்ள வேண்டிய பூலியன் பதில். நான் உயரமாகவும் நீ குட்டையாகவும் இருந்தால் நீங்களும் நானும் குட்டையானவர்கள். நான் உயரமாக இருந்தால், நீங்கள் உயரமாக இருந்தால், நீங்களும் நானும் உயரமாக இருக்கிறோம். இவை அனைத்தும் நீங்கள் (வாசகர்) ஏற்றுக்கொள்ள வேண்டிய பூலியன் விதிகள்.

அல்லது
நீங்கள் அல்லது நான் உயரமாக இருந்தால் கேள்வி கேட்கப்படலாம். எனது உயரம் மற்றும் உங்கள் உயரம் பின்னர் அல்லது விதிகளின் தொகுப்பால் இணைக்கப்படும். பின்பற்ற வேண்டிய OR விதிகள் இவை:

பொய் அல்லது பொய் = பொய்
பொய் அல்லது உண்மை = உண்மை
உண்மை அல்லது பொய் = உண்மை
உண்மை அல்லது உண்மை = உண்மை

மீண்டும், உயரமானது உண்மையாகவும், குட்டையானது பொய்யாகவும் இருக்கட்டும். இதன் பொருள் நான் குட்டையாக இருந்தால் அல்லது நீங்கள் குட்டையாக இருந்தால், நீங்கள் அல்லது நான் குறுகியவன். நான் குட்டையாக இருந்தால் அல்லது நீங்கள் உயரமாக இருந்தால், நீங்கள் அல்லது நான் உயரம். நான் உயரமாக இருந்தால் அல்லது நீங்கள் குட்டையாக இருந்தால், நீங்கள் அல்லது நான் உயரம். நான் உயரமாக இருந்தால் அல்லது நீங்கள் உயரமாக இருந்தால், நீங்கள் அல்லது நான் உயரம். இவை அனைத்தும் நீங்கள் ஏற்றுக்கொள்ள வேண்டிய பூலியன் விதிகள்.

இல்லை
இப்போது, ​​பூலியன் தர்க்கத்தில், இரண்டு நிலைகள் (சாத்தியமான பதில்கள்) மட்டுமே உள்ளன. அதாவது, நீங்கள் உயரமாக இல்லாவிட்டால், நீங்கள் குட்டையாக இருப்பீர்கள். நீங்கள் குட்டையாக இல்லாவிட்டால், நீங்கள் உயரமாக இருக்கிறீர்கள்; வேறொன்றுமில்லை. இவை பின்பற்ற வேண்டிய விதிகள் அல்ல:

பொய்யல்ல = உண்மை
உண்மை இல்லை = பொய்

நீங்கள் நீட்டிக்க (இழுக்க) ஒரு சரம் (அல்லது வசந்தம்) உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். சரம் அதன் இயல்பான நிலையில் இருக்கும்போது, ​​'குறுகியதல்ல' என்று நான் சொன்னால், நீங்கள் அதை நீட்டிப்பீர்கள்; அதுதான் விளக்கம். சரம் நீட்டிக்கப்படும் போது, ​​'நீண்ட நேரம் இல்லை' என்று நான் சொன்னால், நீங்கள் அதை சுருங்க அனுமதிப்பீர்கள்; அதுதான் விளக்கம்.

வெவ்வேறு வகைகளில் கொடுக்கப்பட்ட அனைத்து விதிகளையும் நீங்கள் மனப்பாடம் செய்ய வேண்டும்.

இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட செயல்கள்
கணினி மொழியில், AND, OR, மற்றும் NOT ஒவ்வொன்றும் ஆபரேட்டர் எனப்படும். NOT ஆபரேட்டருக்கு, ஒரு பதிலைப் பெற உங்களுக்கு ஒரே ஒரு ஓபராண்ட் (ஆபரேட்டருக்கான மதிப்பு) மட்டுமே தேவை. AND அல்லது OR ஆபரேட்டர்களுக்கு, நீங்கள் இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட செயல்பாடுகளை வைத்திருக்கலாம். முந்தைய வழக்குகள் AND மற்றும் OR க்கான இரண்டு செயல்பாடுகளைக் காட்டுகின்றன. பின்வருவனவற்றிற்கு நீங்கள் மூன்று செயல்களை வைத்திருக்கலாம்:

பொய் மற்றும் பொய் மற்றும் பொய் = பொய்
பொய் மற்றும் பொய் மற்றும் உண்மை = பொய்

இவை இரண்டு கோடுகள்; ஒவ்வொன்றிலும் இரண்டு மற்றும் ஆபரேட்டர்கள் உள்ளனர். ஓபராண்டுகள் மூன்றாக இருக்கும்போது உண்மையில் ஒன்பது வரிகள் உள்ளன. AND ஆபரேட்டருடன், கடைசி வரி (ஒன்பதாவது வரி) மட்டுமே உண்மைக்கு சமம்; முந்தைய வரிகள் அனைத்தும் பொய். AND க்கு இரண்டு செயல்பாடுகளுடன், கடைசி வரி மட்டுமே இன்னும் உண்மையாக உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்க; முந்தைய மூன்று வரிகளும் தவறானவை. ஓபராண்டுகள் நான்காக இருக்கும்போது, ​​16 வரிகள் உள்ளன மற்றும் கடைசி வரி மட்டுமே AND ஆபரேட்டருக்கு உண்மையாக இருக்கும்.

AND க்கான வடிவமும் OR க்கான வடிவமும் வேறுபட்டவை. இரண்டு OR ஆபரேட்டர்களுக்கு மூன்று செயலிகளுடன், ஒன்பது வரிகளும் உள்ளன, முதல் வரி மட்டுமே இந்த முறை தவறானது. இரண்டாவது முதல் ஒன்பதாவது வரி வரை உண்மை. OR க்கு இரண்டு செயல்பாடுகளுடன், முதல் வரி மட்டுமே இன்னும் உண்மையாக உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்க; மீதமுள்ள மூன்று வரிகளும் தவறானவை. OR க்கு ஓபராண்டுகள் நான்கு என்றால், 16 வரிகளும் இருக்கும்.

NOT ஆபரேட்டர் ஒரே ஒரு செயலியை மட்டுமே கையாள்கிறது. பொய் இல்லை என்பது உண்மை, உண்மை இல்லை என்பது பொய்.

2.2 இரண்டு செயல்பாட்டு உண்மை அட்டவணை மற்றும் அவற்றின் மின்னணு கூறுகள்

கணிதத்தில் இயற்கணிதம் என்று ஒரு தலைப்பு உள்ளது. அதன் ஒரு சிறிய பகுதி முந்தைய அத்தியாயத்தில் காணப்பட்டது. பூலியன் இயற்கணிதம் என்று ஒரு வகையான அல்ஜீப்ரா உள்ளது. பூலியன் இயற்கணிதத்தில், உண்மை என்பது 1 என்ற அடிப்படை இரண்டு இலக்கத்தாலும், பொய்யானது 0 என்ற அடிப்படை இரண்டு இலக்கத்தாலும் அடையாளம் காணப்படுகிறது.

உள் கணினி அலகு கூறுகள் மின்னணு கூறுகள். கணினி அமைப்பின் கணினி அலகு டிஜிட்டல் மின்னணு கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது. AND செயல்பாடு AND கேட் எனப்படும் ஒரு சிறிய மின்னணு கூறு மூலம் செய்யப்படுகிறது. OR செயல்பாடு OR கேட் எனப்படும் சிறிய மின்னணு கூறு மூலம் செய்யப்படுகிறது. NOT செயல்பாடு NOT கேட் எனப்படும் சிறிய மின்னணு கூறு மூலம் செய்யப்படுகிறது. இந்த வாயில்களில் அதிகமானவை ஒரு ஒருங்கிணைந்த சுற்று (IC) சிப்பில் இருக்கலாம்.

மற்றும் உண்மை அட்டவணை மற்றும் அதன் வாயில்
பின்வரும் அட்டவணை AND உண்மை அட்டவணையையும் அதன் AND வாயில் (சிறிய சுற்று) சின்னத்தையும் வழங்குகிறது:

AND உண்மை அட்டவணை மற்றும் அதன் வாயில் இரண்டிற்கும், A மற்றும் B ஆகியவை இரண்டு உள்ளீட்டு மாறிகள். Q என்பது வெளியீடு மாறி. A என்பது 1 அல்லது 0. B என்பது 1 அல்லது 0. Q என்பது 1 அல்லது 0. 1 மற்றும் 0 கள் கொண்ட AND உண்மை அட்டவணை முந்தைய உண்மை/தவறு மற்றும் உண்மை தளவமைப்பு (அட்டவணை) போலவே இருக்கும். மற்றும் சமன்பாடு:

ஏ . பி = கே

புள்ளி (.) என்றால் AND (பூலியன்) என்று பொருள். புள்ளியில் AB = Q இருக்காமல் தவிர்க்கலாம், அதாவது அதே பொருள் (AND).

குறிப்பு: நான்கு வரிசைகளில் A மற்றும் B க்கான பிட்கள், ஜோடிகளாக, 0 (அல்லது 00), அதாவது 00, 01, 10, 11 இலிருந்து தொடங்கும் அடிப்படை இரண்டில் உள்ள முதல் நான்கு எண்களாகும்.

பின்வரும் அட்டவணை OR உண்மை அட்டவணையையும் அதன் OR வாயில் (சிறிய சுற்று) சின்னத்தையும் வழங்குகிறது:

OR உண்மை அட்டவணை மற்றும் அதன் வாயில் இரண்டிற்கும், A மற்றும் B ஆகியவை இரண்டு உள்ளீட்டு மாறிகள். Q என்பது வெளியீடு மாறி. OR உண்மை அட்டவணை 1 மற்றும் 0 உடன் முந்தைய உண்மை/தவறு அல்லது உண்மை தளவமைப்பு (அட்டவணை) போலவே இருக்கும்.

OR சமன்பாடு:

A + B = Q

இங்கே + என்பது பூலியன் அல்லது கூட்டல் அல்ல. சமன்பாடு 'A அல்லது B சமமான Q' என வாசிக்கப்படுகிறது.

பின்வரும் அட்டவணை NOT உண்மை அட்டவணையையும் அதன் NOT கேட் (சிறிய சுற்று) சின்னத்தையும் வழங்குகிறது:

NOT உண்மை அட்டவணை அல்லது NOT கேட் ஒரே ஒரு உள்ளீடு மற்றும் ஒரு வெளியீடு மட்டுமே உள்ளது. உள்ளீடு 0 ஆக இருக்கும்போது, ​​வெளியீடு 1. உள்ளீடு 1 ஆக இருக்கும்போது, ​​வெளியீடு 0 ஆகும். NOT கேட் ஒரு வகையான தலைகீழ் மாற்றத்தை செய்கிறது. வெளியீட்டு மாறியானது உள்ளீட்டு மாறியைப் போலவே உள்ளது, ஆனால் ஒரு பட்டியுடன் (ஓவர்-லைன்ட்) உள்ளது. 1கள் மற்றும் 0கள் கொண்ட NOT உண்மை அட்டவணை முந்தைய உண்மை/தவறு அல்லது உண்மை தளவமைப்பு (அட்டவணை) போலவே உள்ளது.

NOT சமன்பாடு:

ஏ = கே

இங்கு Q = A மற்றும் A க்கு மேல் உள்ள பட்டி என்பது நிரப்பு என்று பொருள். 0 இன் நிரப்பு 1 மற்றும் 1 இன் நிரப்பு 0. NOT வாயில் INVERTING கேட் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

இவை டிஜிட்டல் எலக்ட்ரானிக்ஸில் (பூலியன் அல்ஜீப்ராவுடன்) அடிப்படை (அல்லது ரூட்) உண்மை அட்டவணைகள் மற்றும் அவற்றின் வாயில்கள் (சிறிய சுற்றுகள்). பின்வரும் விளக்கத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள மற்ற மூன்று உண்மை அட்டவணைகள் மற்றும் அவற்றின் வாயில்கள் வசதிக்காக மற்றும் முந்தைய மூன்று உண்மை அட்டவணைகளை அடிப்படையாகக் கொண்டவை.

உண்மை அட்டவணை மற்றும் வாயில் மற்றும் உண்மை அட்டவணை மற்றும் வாயில் ஆகியவற்றிலிருந்து பெறப்பட்டது. அவை NAND (NOT AND க்கு) உண்மை அட்டவணை மற்றும் தொடர்புடைய NAND கேட் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. NAND உண்மை அட்டவணை மற்றும் அதன் NAND வாயில்:

NAND உண்மை அட்டவணையைப் பெற, AND உண்மை அட்டவணையின் வெளியீட்டிற்குச் சென்று ஒவ்வொரு இலக்கத்தையும் அதன் நிரப்புதலுடன் மாற்றவும். 0 இன் நிரப்பு 1 மற்றும் 1 இன் நிரப்பு 0. NAND கேட் AND கேட் போன்றது, ஆனால் வெளியீட்டு வரிக்கு முன் ஒரு சிறிய வட்டம் உள்ளது. NAND சமன்பாடு:

எங்கே என்றால் 'A' மற்றும் 'B' ஆகியவற்றின் முடிவின் நிரப்பு. பட்டை (ஓவர்-லைன்) சிறிய வட்டத்தால் வாயிலில் குறிப்பிடப்படுகிறது. A மற்றும் B இடையே உள்ள புள்ளியை தவிர்க்கலாம் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.

அல்லது உண்மை அட்டவணை மற்றும் வாயிலில் இருந்து பெறப்பட்ட மற்றொரு உண்மை அட்டவணை மற்றும் வாயில் உள்ளது. அவை NOR (NOT OR) உண்மை அட்டவணை மற்றும் தொடர்புடைய NOR வாயில் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. NOR உண்மை அட்டவணை மற்றும் அதன் NOR வாயில்:

NOR உண்மை அட்டவணையைப் பெற, OR உண்மை அட்டவணையின் வெளியீட்டிற்குச் சென்று ஒவ்வொரு இலக்கத்தையும் அதன் நிரப்புதலுடன் மாற்றவும். 0 இன் நிரப்பு 1 மற்றும் 1 இன் நிரப்பு 0. NOR வாயில் OR வாயில் போன்றது, ஆனால் வெளியீட்டு வரிக்கு முன் ஒரு சிறிய வட்டம் உள்ளது. NOR சமன்பாடு:

எங்கே 'A' அல்லது 'B' இன் முடிவின் நிரப்பு என்று பொருள். பட்டை (ஓவர்லைன்) சிறிய வட்டத்தால் வாயிலில் குறிப்பிடப்படுகிறது.

பிரத்தியேக அல்லது (XOR)
OR வாயிலுக்கான உண்மை அட்டவணை:

சாதாரண ஆங்கிலத்தில், 1 அல்லது 1 இன் கடைசி வரிசையில் 1 அல்லது 0 கொடுக்க வேண்டுமா என்பது தெளிவாக இல்லை. எனவே, பூலியன் இயற்கணிதத்தில், இரண்டு வகையான OR உண்மை அட்டவணைகள் மற்றும் இரண்டு தொடர்புடைய வாயில்கள் உள்ளன. சாதாரண OR உடன், 1 OR 1 இன் கடைசி வரிசை 1 ஐ அளிக்கிறது. OR இன் மற்ற வகை பிரத்தியேக-OR (XOR) ஆகும், இதில் முதல் மூன்று வரிசைகளும் இயல்பான OR இன் முதல் மூன்று வரிசைகள் (வெளியீடு உட்பட) ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். இருப்பினும், நான்காவது மற்றும் கடைசி வரிசையில், 1 அல்லது 1 ஆனது 0 ஐ அளிக்கிறது.

பின்வரும் அட்டவணை XOR உண்மை அட்டவணையையும் அதன் XOR வாயில் (சிறிய சுற்று) சின்னத்தையும் வழங்குகிறது:

XOR உண்மை அட்டவணை மற்றும் அதன் கேட் இரண்டிற்கும், 'A' மற்றும் 'B' இரண்டு உள்ளீட்டு மாறிகள். 'Q' என்பது வெளியீட்டு மாறி.

XOR சமன்பாடு:

A ⊕ B = Q

இங்கு ⊕ என்பது பூலியன் XOR என்று பொருள்படும்.

சாதாரண OR என்பது ஒன்று அல்லது இரண்டையும் குறிக்கிறது. பிரத்தியேக OR என்றால் கண்டிப்பாக என்று பொருள் ஒன்று மற்றும் இரண்டும் இல்லை.

2.3 பூலியன் போஸ்டுலேட்டுகள்

போஸ்டுலேட்டுகள் என்பது அனுமானங்கள், அதன் அடிப்படையில் சில முடிவுகள் எடுக்கப்படுகின்றன. AND, OR மற்றும் NOT சமன்பாடுகளிலிருந்து (உண்மை அட்டவணைகள்) வேரூன்றிய பத்து பூலியன் போஸ்டுலேட்டுகள் உள்ளன. இந்த சமன்பாடுகள் செயல்பாடுகள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. அடிப்படை செயல்பாடுகள் பின்வருமாறு மீண்டும் நகலெடுக்கப்படுகின்றன:

இவை பூலியன் இயற்கணிதத்தில் உள்ள அடிப்படைச் செயல்பாடுகள் (சமன்பாடுகள்). பின்வரும் மற்ற மூன்று (செயல்பாடுகள்) சமன்பாடுகள் அடிப்படை செயல்பாடுகள் அல்ல:

இங்கே கடைசி செயல்பாடு விசித்திரமாக இருந்தாலும், அது ஒரு அடிப்படை செயல்பாடாக கருதப்படவில்லை.

பூலியன் போஸ்டுலேட்டுகள் பின்வருமாறு:

மற்றும் செயல்பாட்டிலிருந்து
1) 0 0 = 0
இருபது. 1 = 0
3) 1. 0 = 0
4) 1. 1 = 1

OR செயல்பாட்டிலிருந்து
5) 0 + 0 = 0
6) 0 + 1 = 1
7) 1 + 0 = 1
8) 1 + 1 = 1

NOT செயல்பாடு இருந்து
9) 0 = 1
10) 1 = 0

குறிப்பு: இந்த போஸ்டுலேட்டுகள் AND, OR, மற்றும் NOT உண்மை அட்டவணையில் உள்ள கோடுகள் மட்டுமே அவை சுயாதீனமான முறையில் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன. கொடுக்கப்பட்ட பதிவை வாசகர் மனப்பாடம் செய்ய வேண்டும்.

2.4 பூலியன் பண்புகள்

சொத்து என்பது ஏதோவொன்றின் பண்பு போன்றது. பூலியன் பண்புகள் என்பது பூலியன் போஸ்டுலேட்டுகளிலிருந்து பெறப்பட்ட சமன்பாடுகள். இந்த பிரிவில், பண்புகள் அவற்றின் வழித்தோன்றல்கள் இல்லாமல் வெறுமனே கொடுக்கப்பட்டு பின்னர் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. இருபத்தைந்து பண்புகள் பின்வருமாறு பத்து தலைப்புகளின் கீழ் தொகுக்கப்பட்டுள்ளன:

மற்றும் செயல்பாட்டின் பண்புகள்

சொத்து 1:

X என்பது 1 அல்லது 0 ஆக இருக்கலாம். இதன் பொருள் X எதுவாக இருந்தாலும், முடிவு எப்போதும் 0 தான்.

குறிப்பு: ஒரு மாறி என்பது A அல்லது B அல்லது C அல்லது D ஆக இருக்கக்கூடாது. ஒரு மாறி W அல்லது X அல்லது Y அல்லது Z அல்லது வேறு ஏதேனும் எழுத்தாக இருக்கலாம்.

சொத்து 2:

X ஆனது 1 அல்லது 0 ஆக இருக்கலாம். பண்பு 1 மற்றும் பண்பு 2 ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான வேறுபாடு இரண்டு சமன்பாடுகளின் சமமான அடையாளத்தின் இடது பக்கத்தில், X மற்றும் 0 இன் நிலைகள் ஒன்றுக்கொன்று மாற்றியமைக்கப்படுகின்றன என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.

சொத்து 3:

X என்றால் 0, 0. 1 = 0. X என்றால் 1, 1. 1 = 1.

சொத்து 4:

X என்றால் 0, பின்னர் 1. 0 = 0. X என்றால் 1, 1. 1 = 1. பண்பு 3 மற்றும் சொத்து 4 ஆகியவற்றுக்கு இடையே உள்ள வேறுபாடு இரண்டு சமன்பாடுகளின் இடது புறத்தில் இருக்கும் நிலைகள் X மற்றும் 1 ஆகியவை பரிமாற்றம் செய்யப்படுகின்றன.

OR செயல்பாட்டின் பண்புகள்

சொத்து 5:

இதில் X 1 அல்லது 0 ஆக இருக்கலாம். இதன் பொருள் X என்றால் 0, விளைவு 0. X என்றால் 1, முடிவு 1.

சொத்து 6:

X ஆனது 1 அல்லது 0 ஆக இருக்கலாம். பண்பு 5 மற்றும் பண்பு 6 ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான வேறுபாடு இரண்டு சமன்பாடுகளின் இடது பக்கத்தில், X மற்றும் 0 இன் நிலைகள் ஒன்றுக்கொன்று மாற்றியமைக்கப்படுகின்றன என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.

சொத்து 7:

X என்றால் 0, 0 + 1 = 1. X என்றால் 1, 1 + 1 = 1.

சொத்து 8:

X என்றால் 0, பின்னர் 1 + 0 = 1. X என்றால் 1, 1 + 1 = 1. சொத்து 7 மற்றும் சொத்து 8 ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான வேறுபாடு இரண்டு சமன்பாடுகளின் இடது புறத்தில் உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்க. X மற்றும் 1 ஆகியவை பரிமாற்றம் செய்யப்படுகின்றன.

ஒரு மாறியை அதனுடன் அல்லது அதன் நிரப்புதலுடன் இணைப்பது தொடர்பான பண்புகள்

சொத்து 9:

அதாவது: X என்றால் 0, 0 . 0 = 0. X என்றால் 1, 1 . 1 = 1.

சொத்து 10:

அதாவது: X என்றால் 0, 0. 1 = 0. X என்றால் 1, 1. 0 = 0.

தொடர்ச்சியான மாறிகளுக்கு, இந்த பண்பு:

சொத்து 11:

அதாவது: X என்றால் 0, 0 + 0 = 0. X என்றால் 1, பின்னர் 1 + 1 = 1 (சாதாரண OR இலிருந்து).

சொத்து 12:

அதாவது: X என்றால் 0, 0 + 1 = 1. X = 1 எனில், 1 + 0 = 1.

அதாவது: X என்றால் 0, 0 + 1 = 1. X = 1 எனில், 1 + 0 = 1.

இரட்டை நிரப்புதல்

சொத்து 13:

இடது புறத்தில் உள்ள X 0 ஆக இருக்கும் போது, ​​வலது புறத்தில் உள்ள X ஆனது 0 ஆக மாறும். இரட்டை நிரப்புகள் அசல் மதிப்பை மீண்டும் கொடுக்கிறது.

பரிமாற்ற சட்டம்

சொத்து 14:

இதன் அர்த்தம், சம அடையாளத்தின் இடது பக்கத்தில் AND ஆபரேட்டருக்கான முதல் மற்றும் இரண்டாவது செயல்பாடுகளை மாற்றுவது ஒரு பொருட்டல்ல; இடதுபுறம் பரிமாற்றம் நடந்த பிறகும் பதில் அப்படியே உள்ளது. இந்த சமன்பாட்டை புள்ளிகளை விட்டுவிட்டு இவ்வாறு எழுதலாம்: XY = YX.

சொத்து 15:

இங்குள்ள விளக்கம் முந்தைய AND இல் உள்ளதைப் போலவே உள்ளது, ஆனால் அது OR ஆபரேட்டருக்கானது.

விநியோக சட்டம்

சொத்து 16:

இங்கே மூன்று மாறிகள் உள்ளன: X, Y மற்றும் Z. ஒவ்வொரு மாறியும் 1 அல்லது 0 ஆக இருக்கலாம். சம சின்னத்தின் இடது பக்கத்தில், அடைப்புக்குறிகள் முதலில் அவற்றில் உள்ளதை மதிப்பிடுவதைக் குறிக்கும். பின்னர், AND என்பது X உடன் முடிவு. வலதுபுறம் X மற்றும் Y ஒன்றாக அல்லது X மற்றும் Z ஒன்றாக இடது புறம் சமமாக இருக்கும் என்று கூறுகிறது. ANDகளுக்கான டாட் ஆபரேட்டர் எல்லா நேரங்களிலும் தவிர்க்கப்பட்டது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்; மற்றும் இணைந்த மாறிகள் இன்னும் AND என்று பொருள்படும்.

சொத்து 17:

இந்த சொத்து W இன் கூடுதல் மாறியுடன் கூடிய சொத்து 16 இன் நீட்டிப்பாகும்.

இணை சட்டம்

சொத்து 18:

அடைப்புக்குறிகள் என்பது அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ளதை முதலில் மதிப்பீடு செய்வதாகும். எனவே, இடது புறத்தில் உள்ள வெளிப்பாட்டிற்கு, Z உடன் Y உடன் முதலில் AND செய்யப்பட்டால், X முடிவுடன் AND செய்யப்பட்டால், இடது புறத்தில் அந்த இறுதி முடிவு வலதுபுறத்தில் உள்ள இறுதி முடிவு போலவே இருக்கும். -இசட் உடன் முடிவை AND செய்வதற்கு முன் Y உடன் X முதலில் AND செய்யப்பட்ட இடத்தில். சமன்பாட்டில் புள்ளிகள் தவிர்க்கப்பட்டிருப்பதைக் கவனிக்கவும்.

சொத்து 19:

இந்த சொத்து சொத்து 18 போலவே விளக்கப்பட்டுள்ளது, ஆனால் AND ஆபரேட்டருக்கு பதிலாக OR ஆபரேட்டர் பணியமர்த்தப்பட்டுள்ளார். OR ஆபரேட்டர் + எளிமைக்காக பூலியன் வெளிப்பாட்டிலிருந்து ஒருபோதும் தவிர்க்கப்படுவதில்லை. மறுபுறம், AND ஆபரேட்டரைத் தவிர்க்கலாம் மற்றும் இரண்டு மாறிகள் இணைக்கப்படலாம்.

உறிஞ்சுதல்

சொத்து 20:

இந்த சமன்பாட்டின் மூலம், Y என்னவாக இருந்தாலும், வலது பக்கம் எப்போதும் X (உறிஞ்சப்படும்) இருக்கும்.

சொத்து 21:

மேலும், இந்த சமன்பாட்டின் மூலம், Y என்னவாக இருந்தாலும், வலது புறம் எப்போதும் X (உறிஞ்சப்படும்) ஆக இருக்கும். இந்த சொத்து 21 ஆனது சொத்து 20 ஐப் போலவே உள்ளது:

இங்கே, பகிர்ந்தளிக்கும் சட்டத்தையும் X.X = X சொத்து 9ஐயும் பயன்படுத்துகிறோம்.

ஒரு அடையாளம்

சொத்து 22:

அதாவது X + Y வெளிப்பாட்டிற்கு, Y க்கு முன்னால் உள்ள X இன் நிரப்பு வெளிப்பாட்டை மாற்றாது.

சொத்து 23:

இதன் பொருள் XY வெளிப்பாட்டிற்கு, முதலில் செய்யப்படும் அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள X ORed இன் Y உடன் நிரப்புதல் XY வெளிப்பாட்டை மாற்றாது.

டிமோர்கனின் சட்டம்

சொத்து 24:

ஒரு NOR (NOT OR) கேட் இரண்டு உள்ளீடுகளையும் AND செய்வதற்கு முன் அவற்றைக் குறிப்பது போன்ற அதே முடிவைக் கொண்டுள்ளது.

சொத்து 25:

ஒரு NAND (NOT AND) கேட் ORing க்கு முன் இரண்டு உள்ளீடுகளைக் குறிப்பிடும் அதே முடிவைக் கொண்டுள்ளது.

வழங்கப்பட்ட விளக்கப்படங்கள் 25 பண்புகள் ஆகும். வலது புறத்தில் உள்ள வெளிப்பாடு (அல்லது முடிவு) பெறப்பட்டதா என்பதைப் பார்க்க, இடது புறத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு வெளிப்பாட்டிலும், 1 மற்றும் 0 இன் பல்வேறு சாத்தியமான மதிப்புகளை மாற்றுவதன் மூலம் அவற்றை நிரூபிக்க முடியும். சான்றுகள் வாசகருக்கு ஒரு பயிற்சியாக விடப்படுகின்றன.

2.5 கலவை வெளிப்பாடுகளை எளிமைப்படுத்துதல்

பின்வரும் இரண்டு செயல்பாடுகளும் ஒன்றே:

Z என்பது வெளியீடு மற்றும் X, W மற்றும் Y ஆகியவை உள்ளீடுகள். முதலாவது ஒரு NAND கேட், ஒரு OR கேட், ஒரு AND கேட், இரண்டு NOT கேட்கள், ஒரு OR கேட் மற்றும் ஒரு NOR கேட் ஆகியவை தேவை. இரண்டாவதாக இரண்டு மற்றும் வாயில்கள் தேவை. முதலாவது ஒரு கூட்டு வெளிப்பாட்டுடன் கூடிய சமன்பாடு ஆகும், இது வலது புறத்தில் உள்ளது, இது இரண்டாவது சமன்பாட்டிற்கான ஒற்றை வலது கை வெளிப்பாடு சொல்லாக எளிமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது (குறைக்கப்பட்டுள்ளது).

எளிமைப்படுத்தல் அல்லது குறைப்பு ஒரு சுற்று போன்ற அதே செயல்பாட்டைச் செயல்படுத்துவதற்கு குறைவான எண்ணிக்கையிலான வாயில்களுக்கு வழிவகுக்கிறது. அத்தகைய ஒரு சிறிய சுற்று ஒரு ஒருங்கிணைந்த சுற்று (IC) இன் ஒரு பகுதியாக இருக்கலாம் அல்லது கணினி மதர்போர்டின் மேற்பரப்பில் ஒரு தனி சுற்று ஆகும்.

வடிவமைப்பு செயல்பாட்டில் ஒரு செயல்பாடு (சமன்பாடு) வரும்போது, ​​வாயில்களின் எண்ணிக்கையைக் குறைப்பதற்கும், மலிவான சுற்றுடன் முடிவதற்கும் எளிமைப்படுத்தப்பட வேண்டும். எளிமைப்படுத்தலுக்கு முந்தைய இருபத்தைந்து பூலியன் பண்புகளில் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்டவற்றைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.51:

சமன்பாட்டைக் குறைக்கவும்:

குறிப்பு: இரண்டு அடைப்புக்குறிகள் ஒன்றுக்கு அடுத்ததாக அடைப்புக்குறிகள் ANDed என்று அர்த்தம் (அவற்றுக்கு இடையே உள்ள புள்ளி விருப்பமாக எழுதப்படவில்லை).

தீர்வு:
தீர்வுகளுக்கு, ஒவ்வொரு அடிக்கும் நியாயம் (காரணம்) படியின் வலதுபுறத்தில் அடைப்புக்குறிக்குள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஒவ்வொரு அடியையும் அதன் நியாயத்தையும் வாசகர் படிக்க வேண்டும். செயல்பாடு குறைப்பு படிகளைப் படிக்கும் போது வாசகர் முந்தைய பண்புகளையும் குறிப்பிட வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.52:

எளிமையாக்கு:

2.6 தயாரிப்புகளின் குறைந்தபட்ச தொகை

பின்வரும் இரண்டு செயல்பாடுகளும் ஒன்றே:

இரண்டு சமன்பாடுகளின் வலது புற வெளிப்பாடுகள் இரண்டும் தயாரிப்புகளின் தொகை (SP) வடிவத்தில் இருப்பதாகக் கூறப்படுகிறது. ஒரு எக்ஸ்பிரஸ் வெளிப்பாடு அடைப்புக்குறிகள் இல்லை என்றால், தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை வடிவத்தில் இருக்கும். முதல் செயல்பாட்டிற்கு (சமன்பாடு) இரண்டாவது செயல்பாட்டை விட அதிகமான வாயில்கள் தேவை என்பது வெளிப்படையானது.

இரண்டாவது செயல்பாட்டைப் பெற முதல் வலது-கை வெளிப்பாடு இன்னும் குறைக்கப்படலாம். இரண்டாவது வலது பக்க வெளிப்பாட்டை மேலும் எளிமைப்படுத்த முடியாது மற்றும் இன்னும் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை (விதிகளின் 'கூடுதல்') என வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. இரண்டாவது வலது பக்க வெளிப்பாடு உண்மையில் மேலும் எளிமைப்படுத்த முடியாது. எனவே, இது குறைந்தபட்ச தயாரிப்புகளின் (MSP) படிவத்தில் இருப்பதாகக் கூறப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 2.61:
பின்வரும் செயல்பாட்டை முதலில் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை படிவத்திற்கும் பின்னர் குறைந்தபட்ச தயாரிப்புகளின் படிவத்திற்கும் கொண்டு வாருங்கள்.

தீர்வு:
இது போன்ற சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது, ​​முந்தைய இருபத்தைந்து பண்புகளில் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்டவை இந்தத் தீர்வில் விளக்கப்பட்டுள்ளபடி பயன்படுத்தப்பட வேண்டும்:

2.6 தயாரிப்புகளின் குறைந்தபட்ச தொகை

பின்வரும் இரண்டு செயல்பாடுகளும் ஒன்றே:

இரண்டு சமன்பாடுகளின் வலது புற வெளிப்பாடுகள் இரண்டும் தயாரிப்புகளின் தொகை (SP) வடிவத்தில் இருப்பதாகக் கூறப்படுகிறது. ஒரு எக்ஸ்பிரஸ் வெளிப்பாடு அடைப்புக்குறிகள் இல்லை என்றால், தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை வடிவத்தில் இருக்கும். முதல் செயல்பாட்டிற்கு (சமன்பாடு) இரண்டாவது செயல்பாட்டை விட அதிகமான வாயில்கள் தேவை என்பது வெளிப்படையானது.

இரண்டாவது செயல்பாட்டைப் பெற முதல் வலது-கை வெளிப்பாடு இன்னும் குறைக்கப்படலாம். இரண்டாவது வலது பக்க வெளிப்பாட்டை மேலும் எளிமைப்படுத்த முடியாது மற்றும் இன்னும் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை (விதிகளின் 'கூடுதல்') என வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. இரண்டாவது வலது பக்க வெளிப்பாடு உண்மையில் மேலும் எளிமைப்படுத்த முடியாது. எனவே, இது குறைந்தபட்ச தயாரிப்புகளின் (MSP) படிவத்தில் இருப்பதாகக் கூறப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 2.61:
பின்வரும் செயல்பாட்டை முதலில் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை படிவத்திற்கும் பின்னர் குறைந்தபட்ச தயாரிப்புகளின் படிவத்திற்கும் கொண்டு வாருங்கள்.

தீர்வு:
இது போன்ற சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது, ​​முந்தைய இருபத்தைந்து பண்புகளில் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்டவை இந்தத் தீர்வில் விளக்கப்பட்டுள்ளபடி பயன்படுத்தப்பட வேண்டும்:

இந்த கடைசி வெளிப்பாடு தயாரிப்புகளின் தொகை வடிவத்தில் (SP) உள்ளது, ஆனால் குறைந்தபட்ச தயாரிப்புகளின் படிவத்தில் (MSP) இல்லை. கேள்வியின் முதல் பகுதிக்கு விடை கிடைத்துள்ளது. இரண்டாவது பகுதிக்கான தீர்வு பின்வருமாறு:

இந்த கடைசியாக எளிமைப்படுத்தப்பட்ட செயல்பாடு (சமன்பாடு) MSP வடிவத்தில் உள்ளது, மேலும் செயல்படுத்துவதற்கு அதனுடன் தொடர்புடைய SP படிவத்தை விட குறைவான எண்ணிக்கையிலான வாயில்கள் தேவை. நினைவில் கொள்ளுங்கள்: SP என்பது தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையைக் குறிக்கிறது, அதே நேரத்தில் MSP என்பது தயாரிப்புகளின் குறைந்தபட்சத் தொகையைக் குறிக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டு 2.62:
பின்வரும் சுற்று X, Y மற்றும் W உள்ளீடுகளைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் Z என்பது வெளியீடு ஆகும். Z க்கான தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை (SP) செயல்பாட்டை (வெளிப்படையான குறைந்தபட்ச தயாரிப்புகளின் செயல்பாடு) உருவாக்கவும். பின்னர், உண்மையான மேலும் குறைக்கப்பட்ட (குறைக்கப்பட்ட) தயாரிப்புகளின் தொகையை (MSP) உருவாக்கவும். பின்னர், எம்எஸ்பி சர்க்யூட்டை செயல்படுத்தவும் (எம்எஸ்பி கேட்டிங் நெட்வொர்க்கை வரையவும்).

படம் 2.61 ஒரு கேட்டிங் சர்க்யூட்

தீர்வு:
எளிமைப்படுத்தல் செயல்முறை தொடங்கும் முன், Z க்கான வெளிப்பாடு X, Y மற்றும் W ஆகியவற்றின் அடிப்படையில் பெறப்பட வேண்டும். வரைபடத்திலிருந்து இந்த எடுத்துக்காட்டு விளக்கத்தைப் பார்க்கவும்:

இது X, Y மற்றும் W ஆகியவற்றின் அடிப்படையில் Z இன் வெளிப்பாடாகும். இதற்குப் பிறகு, வெளிப்படையான MSP க்கு எளிமைப்படுத்தலாம். வெளிப்படையான MSP என்பது SP ஆகும்.

இந்த கடைசி சமன்பாடு (செயல்பாடு) SP வடிவத்தில் உள்ளது. இது உண்மையல்ல குறைந்தபட்ச தயாரிப்புகளின் தொகை (இன்னும் MSP இல்லை). எனவே, குறைப்பு (குறைத்தல்) தொடர வேண்டும்.

இந்த கடைசி சமன்பாடு (செயல்பாடு) ஒரு உண்மையான குறைந்தபட்ச தயாரிப்புகளின் (MSP) ஆகும். மற்றும் தயாரிப்புகளின் குறைந்தபட்ச தொகை (உண்மையான குறைந்தபட்சம்) கேட்டிங் சர்க்யூட்:

படம் 2.62 எம்எஸ்பி கேட்டிங் சர்க்யூட்

கருத்து
இந்த பிரிவில் உள்ள பகுப்பாய்விலிருந்து, தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை என்பது தயாரிப்புகளின் குறைந்தபட்ச தொகையா இல்லையா என்பது தெளிவாகத் தெரியவில்லை. SP மிகவும் பயனுள்ளதாக இல்லை. இது மிகவும் பயனுள்ள MSP ஆகும். MSP பெற ஒரு உறுதியான வழி உள்ளது; அது கர்னாக் வரைபடத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும். கர்னாக் வரைபடம் இந்த ஆன்லைன் தொழில் படிப்புக்கு அப்பாற்பட்டது.

2.7 சிக்கல்கள்

அடுத்த அத்தியாயத்திற்குச் செல்வதற்கு முன், ஒரு அத்தியாயத்தில் உள்ள அனைத்து சிக்கல்களையும் தீர்க்க வாசகருக்கு அறிவுறுத்தப்படுகிறது.

1. AND, OR, மற்றும் NOT உண்மை அட்டவணைகளை அவற்றின் தொடர்புடைய வாயில்களுடன் உருவாக்கவும்.
2. பத்து பூலியன் போஸ்டுலேட்டுகளை அவற்றின் வெவ்வேறு வகைகளில் எழுதவும், வகைகளுக்கு பெயரிடவும்.
3. விளக்கம் இல்லாமல், பூலியன் இயற்கணிதத்தின் இருபத்தி ஆறு பண்புகளை அவற்றின் வெவ்வேறு வகைகளில் எழுதி, வகைகளுக்கு பெயரிடவும்.
4. பூலியன் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டைக் குறைக்கவும் மற்றும் பயன்படுத்தப்படும் வகைகளை மேற்கோள் காட்டவும்.



5. பூலியன் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டைக் குறைக்கவும் மற்றும் பயன்படுத்தப்படும் வகைகளை மேற்கோள் காட்டவும்.



6. பூலியன் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி மற்றும் பயன்படுத்தப்படும் வகைகளை மேற்கோள் காட்டி, பின்வரும் சமன்பாட்டைக் குறைக்கவும் - முதலில் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் பின்னர் தயாரிப்புகளின் குறைந்தபட்சத் தொகை:



7. பூலியன் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி மற்றும் பயன்படுத்தப்படும் வகைகளை மேற்கோள் காட்டி, பின்வரும் சமன்பாட்டைக் குறைக்கவும் - முதலில் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் பின்னர் தயாரிப்புகளின் குறைந்தபட்சத் தொகை: